\chapter{Fórmulas} \label{formulas}

Aqui serão apresentadas as fórmulas usadas, bem como as fontes a partir das quais as mesmas foram obtidas: \\

\begin{enumerate}
 \item pv - BEG \cite{arachnoid}:

\begin{eqnarray*}
pv &=& (i+1)^{-n} * ( -fv*i - (i+1) * ( (i+1)^{n} -1)*pmt  ) / i\\
\end{eqnarray*}

% Fonte: http://www.arachnoid.com/lutusp/finance.html

\item pv - END \cite{arachnoid}:

\begin{eqnarray*}
	pv &=& (i+1)^{-n} * ( -pmt*(i+1)^{n} - fv*i + pmt) / i \\
\end{eqnarray*}

%  Fonte: http://www.arachnoid.com/lutusp/finance.html

\item pv com i = 0 \cite{matFinanceira}: 

\begin{eqnarray*}
  pv &=& fv + n * pmt  \\
\end{eqnarray*} 

% Fonte: Material de Camilo e \cite{matFinanceira}

\item fv - BEG \cite{arachnoid}:
\begin{eqnarray*}
 fv &=& ( (i+1)*pmt - (i+1)^{n}*(i*pmt + pmt + i*pv) ) / i \\
\end{eqnarray*}

%  Fonte: http://www.arachnoid.com/lutusp/finance.html

\item fv - END \cite{arachnoid}: 
\begin{eqnarray*}
fv &=& ( pmt - (i+1)^{n} * (pmt + i*pv) ) / i \\
\end{eqnarray*}

%  Fonte: http://www.arachnoid.com/lutusp/finance.html 

\item fv com i = 0 \cite{arachnoid2}:
\begin{eqnarray*}
 fv &=& - (pv + n*pmt) \\
\end{eqnarray*}
 
%  Fonte: Material de Camilo e \cite{matFinanceira}

\item  n - BEG \cite{arachnoid}:
\begin{eqnarray*}
 n &=& log( (-fv*i + pmt*i + pmt) / (i*pmt + pmt + i*pv) ) / log(i+1) \\
\end{eqnarray*} 

%   Fonte: http://www.arachnoid.com/lutusp/finance.html 

\item  n - END \cite{arachnoid}: 
\begin{eqnarray*}
 n &=& log( (pmt - fv*i) / (pmt + i*pv) ) / log(i+1) \\
\end{eqnarray*} 
  
%  Fonte: http://www.arachnoid.com/lutusp/finance.html

\item  n com i = 0 \cite{arachnoid2}: 

\begin{itemize}
 \item Se pólos com sinal igual:
	\begin{eqnarray*}
 		 n &=& |(pv - fv)| / |pmt| \\ 		
	\end{eqnarray*}
  \item c.c:
	\begin{eqnarray*}
 		n &=& (|pv| - |fv|) / |pmt|   ^{1} \\	 
	\end{eqnarray*}
\end{itemize}
 
%  Fonte: Material de Camilo e \cite{matFinanceira} \\

\item  pmt - BEG \cite{arachnoid}: 
\begin{eqnarray*}
	pmt &=& - i*( pv* ( i+1 )^{n} + fv ) / ( (i+1)*( (i+1)^{n} - 1 ) ) \\
\end{eqnarray*} 
 
%  Fonte: http://www.arachnoid.com/lutusp/finance.html \\ 

\item  pmt - END \cite{arachnoid}:
\begin{eqnarray*}
	pmt &=& - i*( pv*(i+1)^{n} + fv ) / ((i+1)^{n} - 1) \\	
\end{eqnarray*}  
 
%  Fonte: http://www.arachnoid.com/lutusp/finance.html \\

\item  pmt com i = 0 \cite{arachnoid2}:  

\begin{itemize}
 \item Se pólos com sinal igual:
	\begin{eqnarray*}
 		 pmt &=& |(pv - fv)| / |n| \\	
	\end{eqnarray*}
  \item c.c:
	\begin{eqnarray*}
 		pmt &=& (|pv| - |fv|) / |n|  ^{1} \\	 
	\end{eqnarray*}
\end{itemize}

%  Fonte: Material de Camilo e \cite{matFinanceira}  

\item  i: Usa-se a função do fv com estimativas de i $ ^{2} $  \cite{arachnoid2}

%  Fonte: http://vps.arachnoid.com/finance/

\item  npv \cite{man1}:
\begin{eqnarray*}
 	NPV &=& CF_{0} + CF_{1} / (1+i)^{1} + CF_{2} / (1+i)^{2} + ... + CF_{n} / (1+i)^{n} \\
\end{eqnarray*}
 
%  Fonte: Manual da HP c00363319

\item  irr \cite {matFinanceira2}: Utilizado o método da secante para achar um valor de taxa na fórmula do $NPV$ em que $ NPV = 0. $ 

%  Fonte: Matemática Financeira de Samuel Hazzan e José Nicolau Pompeo

\item SAF: pmt \cite{adail}
\begin{eqnarray*}
 	pmt &=& pv * (1+i)^{n} * i / ((1+i)^{n}-1) \\
\end{eqnarray*}
 
%  Fonte: Material Adail

\item  SAF: amort \cite{adail}
\begin{eqnarray*}
 	A_{t} &=& (pmt - (pv*i)) * (i+1)^{t-1} \\	
\end{eqnarray*}
 
%  Fonte: Material Adail

\item  SAC: juros \cite{adail}
\begin{eqnarray*}
 	J_{t} &=& pv*i - (A_{t}*i*t-1)	
\end{eqnarray*}
 
%  Fonte: Material Adail 

\item  SAC: pmt \cite{adail}
\begin{eqnarray*}
 	pmt_{t} &=& A_{t} + J_{t}	\\
\end{eqnarray*}
 
%  Fonte: Material Adail

\item  SAC: amort \cite{adail}

\begin{eqnarray*}
 	A_{t} &=& pv / n \\	
\end{eqnarray*}
 
%  Fonte: Material Adail

\item  Conversão do n \cite{man2}:
\begin{eqnarray*}
 	n_{mensal} &=& n_{anual} * 12 \\	
\end{eqnarray*}
 
%  Fonte: Manual da HP Platinum em Português

\item  Conversão do i (juros simples) \cite{camilo}:
\begin{eqnarray*}
 	i_{mensal} &=& i_{anual} / 12 \\	
\end{eqnarray*}
  
%  Fonte: Material de Camilo de taxas equivalentes

\item  Conversão do i (juros compostos) \cite{camilo}:
\begin{eqnarray*}
 	i_{mensal} &=& (1+i_{anual})^{1/12} - 1 \\	
\end{eqnarray*}
 
%  Fonte: Material de Camilo de taxas equivalentes

\item Percentagem de um dado valor \cite{man1}:
\begin{eqnarray*}
 	\% &=& Base(y) * Rate(x) / 100 \\	
\end{eqnarray*}

\item Variação Percentual \cite{man1}:
\begin{eqnarray*}
 	\Delta\% &=& 100*(NewAmount(x)-Base(y))/Base(y) \\	
\end{eqnarray*}

\item Percentagem do Total \cite{man1}:
\begin{eqnarray*}
 	\%T &=& 100*(Amount(x)/Total(y)) \\	
\end{eqnarray*}

\end{enumerate}

Observações: 

$ ^{1} $ : Faz-se ainda um novo cálculo do pv com o valor resultante do n. Se o valor retornado for diferente, inverte-se o sinal do n.

$ ^{2} $ : O algoritmo base inicia com uma taxa de juros de 100\% e iterativamente, no máximo duas iterações mais externas trocando o sinal da taxa ou até achar a solução busca-se um novo valor de i. Internamente tenta-se acrescer uma estimativa atual de um valor gd, alterado de 0.5 ou -0.5 de acordo com certas condições, e verifica-se a proximidade do resultado dessa estimativa na função do fv em relação ao valor real do fv. Realizando-se três tentativas consecutivas de cálculo de fv que fiquem com um erro inferior a $ 1 * 10^{-8} $ para-se o algoritmo, ou então tenta-se um número máximo de 400 iterações internas em estimativas do i.